菲洛线研究

时间：2016-11-24 11:17:09 原创文学我要投稿

菲洛线研究

陈宣章

古代数学三大难题:用尺规作图解决化圆为方、三等分角、立方倍体问题。它们已经被证明是不可能的。菲洛(Philo)线的尺规作图是另一个平面几何的世界难题。李明波用“李明波线段”证明了菲洛线的尺规作图不可能。[1]

什么是菲洛线?定角∠BAC内一定点Q引直线交两边于P、H,线段PH的最短线就是菲洛线。(注:一般用QR表示菲洛线。我用PH表示菲洛线,因为Philo的词头是PH。)早就有人证明了菲洛线的特征:过P作AB的垂线、过H作AC的垂线,过Q作PH的垂线,则三条垂线同交于一点D。[2]

定角∠BAC的定义为0° <∠BAC <180°(0°、180°无意义;90°为特殊情况)。因为菲洛线的尺规作图不可能,我用倒画法,先画菲洛线PH,再确定PH上的定点Q:在∠BAC的两边上取P、H点,连接PH。过P作AB的垂线、过H作AC的垂线,两条垂线交于D点。过D作PH的垂线, 垂足为Q。则PH为过定点Q的菲洛线(图1)。

对倒画法的研究:图2中,定角∠BAC内作菲洛线PH并确定定点Q。作PH1⊥AC(H1为垂足);作PH2⊥AB(H2为垂线与AC的交点);在AC上取AH3=AP,连接PH3。

1.当AC上取点在AH1(不含H1)上时,例如H4,则过H4作AC的垂线与过P作AB的垂线相交于D4,D4一定位于AB的左侧;过D4作H4 P延长线的垂线D4Q4(Q4为垂足),Q4也位于AB的左侧。Q4超出了“定点在∠BAC内”的范畴。

2.当AC上取点在H1上时,菲洛线PH1的定点就是P。长度PH1=AP* sin∠BAC。

3.当AC上取点在H3上时,菲洛线PH3的定点Q3就是PH3的中点。证明:过H3作AC的垂线交PH2于D3,连接AD3,则AD3是∠BAC的角平分线。在等腰△APH3中,∠BAC的角平分线一定是底PH3的高。∴D3Q3⊥PH3∴Q3是菲洛线PH3的定点。

4.当AC上取点在H1H3(不含H1、H3)上时,菲洛线PH定点Q位于∠BAC左边一半内。

5.当AC上取点在H2H3(不含H2、H3)上时,菲洛线的定点位于∠BAC的右边一半内。

6.当AC上取点在H2上时,菲洛线PH2的'定点就是H2。长度PH2=AP*tg∠BAC。

7.当AC上取点在H2C(不含H2)上时,例如H5,则过H5作AC的垂线与过P作AB的垂线相交于D5,D5一定位于AC的右侧;过D5作PH5延长线的垂线D5Q5(Q5为垂足),Q5也位于AC的右侧。Q4超出了“定点在∠BAC内”的范畴。

∴定理1:对于∠BAC内定点Q的菲洛线,如果其在AB上的位置确定位于P,则其在AC上的位置只能在H1H2之间;也即是∠BAC内定点的菲洛线只能在直角△PH1H2中。

如果把H1H2等分成n份(在H1H2上有n-1个等分点),就能作出n-1条菲洛线。1.从H1到H2每条菲洛线的定点Q,总是向右变化。2.以PH3为水平线,当H点从H1→H3变化时,定点Q先向上再向下回到PH3的水平,其中有一个最高点;当H点从H3→H2变化时,定点Q总是向下变化。3.如果n→∞,可以得到一条平滑的定点Q变化轨迹的曲线。如果以P为原点、PH1为X轴、PH2为Y轴构成一个笛卡尔坐标系,那条定点Q变化轨迹的曲线应该有一个函数方程Y=f(X)。这个函数方程的自变量X受∠BAC大小影响。Q变化轨迹的曲线全部位于第二象限。

菲洛线问题中,仅有三个因素:∠BAC大小、定点Q的长度AQ及定点Q的位置(即∠BAQ的大小。具体说,定点Q有五种位置:①位于AB上;②位于AB与∠BAC角平分线之间;③位于∠BAC角平分线上;④位于∠BAC角平分线与AC之间;⑤位于AC上。因为∠BAC为锐角、直角或钝角时的情况有所不同,所以分别研究。

∠BAC为锐角

图1中,PH为过定点Q的菲洛线。以A为圆心,AQ为半径作弧交∠BAC两边于Q1、Q2。作∠BAC的角平分线交弧Q1Q2于Q3。于是,弧Q1Q2就是AQ为定长l时,所有Q点的可能位置(或者说:当AQ为定长l时,Q点可以从Q1向Q2移动)。因为弧Q1Q2上,以AQ3为对称轴,左边与右边对称,所以我们只需要研究Q点从Q1向Q3移动的情况。

1.当Q点位于Q1时,其菲洛线为从Q1作AC的垂线Q1H1(垂足为H1)。Q1H1=l*sin∠BAC。

2.当Q点位于Q3时,其菲洛线为从Q3作AQ3的垂线P3H3。∵P3Q3=l* tg∠BAC/2。∴P3H3=2l*tg(∠BAC/2)。

过P作AC的垂线PH2。∵PH>PH2> Q1H1∴PH>Q1H1。当Q点位于Q1到Q3之间(即位于∠BAC左半部,不含Q1)时,Q点的菲洛线长度都一定大于Q1H1。

过H3作PQ的平行线P2H3,交AB于P2。过P作AC的平行线,交P2H3于E。则在平行四边形PEH3H中,EH3=PH。过E作P2H2的垂线,交P3H3于F。∵P3H3>FH3>EH3;EH3=PH∴P3H3>PH。

∴定理2:Q点从Q1向Q3移动中,菲洛线的长度越来越长,最小为Q1H1,最大为P3H3。Q点从Q3向Q2移动中反之,菲洛线的长度则越来越短。Q1H1=l*sin∠BAC;P3H3=2l*tg(∠BAC/2)。

Q位于弧Q1Q3上(即在弧Q1Q3的左半部分),PH为最短菲洛线。如果Q为不动点,直线PQH作逆时针或顺时针旋转,PH的长度都会越来越大,直至直线PQH平行于AB或AC,其长度为∞。

图3中,PH为过定点Q的菲洛线。过Q分别作AB、AC的垂线,分别交AB、AC于E、G、F、I。连接AQ。在直角△AGI中,∠AGI为∠BAC的余角;在直角△GQE中,∠GQE为∠AGI的余角∴∠GQE=∠BAC。同理,∠FQI=∠BAC。∠FQI与∠GQE又是对顶角。

∵对于定点Q,菲洛线PH最短,它一定位于EF与GI之间的范围中。过Q作直线如果超出EF与GI的范围,与AB、AC相交点的距离一定会越来越长,直至直线与AB或AC平行,与AB或AC相交的距离长度为∞。如果过Q作直线位于这两个平行线之间的范畴,只能与AB(或AC)相交,与另一边AC(或AB)绝不相交。

“古代数学三大难题:用尺规作图解决化圆为方、三等分角、立方倍体问题。它们已经被证明是不可能的,但是,数学家们对求问题近似解的研究却是风起云涌,尤其是在化圆为方的问题上。”[3] 我认为:PQ位于EQ与GQ之间的位置偏离,和PQ分割∠GQE有关;如果PQ分割∠GQE接近“AQ分割∠BAC’,则PH是菲洛线的近似解。所以只要作∠GQP’=∠BAQ,延长P’Q与AC相交于H1’,就能得到Q点菲洛线的近似解P’H1’。

图3中,延长AQ至Q1,过Q1作PH的平行线,交AB、AC于P1H1;延长AD至D1,与P1H1的垂线相交于D1;连接P1D1与H1D1。

在△AQD与△AQ1D1中,∵QD∥Q1D1∴AD/ AD1=QD/ Q1D1=AQ/ AQ1;在△AQH与△AQ1H1中,∵QH∥Q1H1∴QH/ Q1H1=AH/ A1H1=AQ/ AQ1;在直角△HQD与直角△H1Q1D1中,∵QD/ Q1D1=AQ/ AQ1;QH/ Q1H1=AQ/ AQ1∴直角△HQD∽直角△H1Q1D1∴HD/ H1D1=AQ/ AQ1。在△AHD与△AH1D1中,∵AD/ AD1=AQ/ AQ1;DH/ D1H1=AQ/ AQ1;AH/ A1H1=AQ/ AQ1∴△AHD∽△AH1D1∴∠A1H1D1=∠AHD=90°。同理可证明∠A1P1D1=90°。∴P1H1是定点Q1的菲洛线。

∴定理3:射线AQ上所有点的菲洛线相互平行。也即:只要∠BAQ确定,射线AQ上的所有点的菲洛线都相互平行。

∠BAC为直角

图4中,PH为过直角∠BAC内定点Q的菲洛线。以A为圆心,AQ为半径作弧交∠BAC两边于Q1、Q2。作∠BAC的角平分线交弧Q1Q2于Q3。弧Q1Q2是AQ为定长l时,所有Q点的可能位置。

1.当Q位于Q1时,菲洛线为过Q1作AC的垂线,与Q1A重叠。∴Q1A长度为l。

2.当Q位于Q3时,菲洛线为过Q3作A Q3的垂线P3H3。P3H3长度为2l。

同定理2可证明:Q点从Q1向Q3移动中,菲洛线的长度越来越长,最小为Q1H1,最大为P3H3。Q点从Q3向Q2移动中反之,菲洛线的长度则越来越短。Q1H1=l;P3H3=2l。

Q位于弧Q1 Q3上(即在弧Q1 Q3的左半部分)时,PH为最短菲洛线。如果Q为不动点,直线PQH作逆时针或顺时针旋转,PH的长度都会越来越大,直至直线PQH平行于AB或AC,其长度为∞。

∠BAC为钝角

图5中,PH为过钝角∠BAC内定点Q的菲洛线。以A为圆心,AQ为半径作弧交∠BAC两边于Q1、Q2。作∠BAC的角平分线交弧Q1Q2于Q3。弧Q1Q2是AQ为定长l时,所有Q点的可能位置。

1.当Q位于Q1时,过Q1不可能直接作AC的垂线,只能作AC延长线的垂线。菲洛线仍然为Q1A。Q1A长度为l。

2.当Q位于Q3时,菲洛线为过Q3作A Q3的垂线P3H3。P3H3长度为2l*tg(∠BAC/2)。

Q位于弧Q1 Q3上(即在弧Q1 Q3的左半部分),PH为最短菲洛线。如果Q为不动点,直线PQH作逆时针或顺时针旋转,PH的长度都会越来越大,直至直线PQH平行于AB或AC,其长度为∞。

参考资料:

[1]郝锡鹏。李明波解开菲洛线尺规作图之谜。北京:津乾论坛。

[2]傅钟鹏。极值巧解。沈阳:辽宁人民出版社,1980:22-24。

[3]陈仁政。说不尽的π。北京:科学出版社,2005:195-202,207。

2016.10.28.

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