关于透视反例的价值文章
美国数学家B.R.盖尔鲍姆和J.M.H.奥姆斯特德指出:“冒着过于简单化的风险,我们可以说数学由两大类(证明与反例)组成,而数学发现也是朝着两个主要的目标:提出证明与构造反例。”由此可见,证明虽然在数学学习中占据着重要的地位,但反例在数学学习中的重要性也不容忽视。
一、 修正“直觉猜测”
学生在数学学习中的创造性,往往离不开直觉思维,但由于直觉思维不够严密,所以依靠直觉得到的只是猜想。这时, 可以借助反例,帮助学生及时发现猜想中的谬误,修正猜测的结果。
例如,教学二年级(上册)的“认识图形”,教师最后设计了这样一个练习:一个正方形有四个角,剪掉一个角,还剩几个角?问题一出示,学生马上凭直觉认为还剩三个角,教师并没有马上说出结论,而是让学生动手操作,自己去探明究竟。操作后,学生很快发现:把正方形剪去一个角后,还可能剩下四个角或五个角。这些反例有效地修正了学生的直觉猜测,帮助学生建立了正确的认识。
二、 直抵“概念内核”
如果仅要求学生从正面去认识、理解数学知识,容易使学生的思维处于惰性状态,认识肤浅而不能深入。适时穿插反例,就能促使学生进行深层次的思考。
例如,面对研讨的问题,当学生指出第一、三、四个图形的涂色部分不是整个图形的1/4时,教师还应追问理由,让学生深刻体会到:只有在平均分的情况下,才会产生分数。对于第一和第三幅图,教师还可以引导学生想办法把它们平均分,然后再说一说涂色部分是整个图形的`几分之几。通过正例和反例的有机沟通,帮助学生深刻理解概念,直抵概念内核。
三、 克服“思维定势”
学生在某一阶段的学习中,由于受过去认识的习惯性影响,对当前事物的感知容易产生思维定势。教师要根据学生的心理特点,抓住机会恰当地利用反例,帮助学生消除思维定势。
例如,教学六年级(下册)“圆锥的体积计算”, 如果教师仅仅让学生准备等底等高的圆柱和圆锥来做实验的话,往往会让学生产生这样的思维定势:圆锥体积是圆柱体积的1/3。在教学时,教师可让学生准备几组底、高并不相等的圆柱和圆锥,通过实际操作中的观察、比较,强化圆锥是和它等底等高的圆柱体积的1/3。课堂上,教师如果能充分发挥反例的作用,就能有效地克服学生的思维定势。
总之,一个正确认识往往要经过正反两方面的比较和鉴别才能确立。反例通过证伪,从反方向帮助人们理解概念,加深对概念的认识。
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