函数的高考数学专题复习

时间:2022-12-09 09:43:02 高考数学 我要投稿
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关于函数的高考数学专题复习

  一、选择题

关于函数的高考数学专题复习

  1.(文)(2014新课标文,5)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()

  A.f(x)g(x)是偶函数

  B.|f(x)|g(x)是奇函数

  C.f(x)|g(x)|是奇函数

  D.|f(x)g(x)|是奇函数

  [答案] C

  [解析] 本题考查函数的奇偶性.

  由f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,得

  f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).

  f(x)g(x)是奇函数,|f(x)|g(x)是偶函数,

  f(x)|g(x)|是奇函数,|f(x)g(x)|是偶函数,选C.

  [方法点拨] 函数奇偶性判定方法:

  紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化,特别注意奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0,偶函数一定有f(|x|)=f(x)在解题中的应用.

  (理)(2015安徽理,2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()

  A.y=cos x B.y=sin x

  C.y=ln x D.y=x2+1

  [答案] A

  [解析] 考查函数的奇偶性和函数零点的概念.

  由选项可知,B,C项均不是偶函数,故排除B,C;A,D项是偶函数,但D项与x轴没有交点,即D项的函数不存在零点,故选A.

  2.(文)函数f(x)=+的定义域为()

  A.(-3,0] B.(-3,1]

  C.(-,-3)(-3,0] D.(-,-3)(-3,1]

  [答案] A

  [解析] 本题考查了定义域的求法.

  由题意知即即

  -30,解得x0或x1,选C.

  [方法点拨] 1.求解函数的定义域一般应遵循以下原则:

  f(x)是整式时,定义域是全体实数;f(x)是分式时,定义域是使分母不为零的一切实数;f(x)为偶次根式时,定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合;对数函数的真数大于零,且当对数函数或指数函数的底数中含变量时,底数需大于0且不等于1;零指数幂的底数不能为零;若f(x)是由有限个基本初等函数运算合成的函数,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集;对于求复合函数定义域的问题,一般步骤是:若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式ab解出;对于含字母参数的函数求其定义域,根据具体情况需对字母参数进行分类讨论;由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.

  2.高考中常将指数函数、对数函数与二次函数或幂函数(例如分式函数、含偶次方根的函数)等结合起来考查,这时一般应从外到内逐层剥离解决.

  例如,y=,从总体上看是分式,故先由分母不为0得到0,再由偶次方根下非负得到2-log3x0,即log3x2,最后由对数函数单调性及对数函数定义域得到00时,函数y=f[f(x)]+1的零点个数为()

  A.1 B.2

  C.3 D.4

  [答案] D

  [解析] 结合图象分析.当k0时,f[f(x)]=-1,则f(x)=t1(-,-)或f(x)=t2(0,1).对于f(x)=t1,存在两个零点x1、x2;对于f(x)=t2,存在两个零点x3、x4,共存在4个零点,故选D.

  6.函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间为()

  A.(0,+) B.(-,0)

  C.(2,+) D.(-,-2)

  [答案] D

  [解析] 本题考查复合函数的单调性,f(x)=log(x2-4)由y=logu及u=x2-4复合而成,y=logu在定义域内为减函数,而u=x2-4在(-,-2)上是减函数,在(2,+)上是增函数,所以f(x)=log(x2-4)的单调递增区间(-,-2),选D.

  7.(文)已知函数f(x)=g(x)=log2x,则f(x)与g(x)两函数图象的交点个数为()

  A.4 B.3

  C.2 D.1

  [答案] C

  [解析] 画出两函数的图象知,当01时,f(x)=00,排除D,故选C.

  解法2:利用复合函数单调性的判断方法,由于u=cosx在区间(-,0)、(0,)上分别为增函数和减函数,而y=logu为减函数,故复合函数f(x)=logcosx在区间(-,0)、(0,)上分别为减函数和增函数,故选C.

  8.(文)如果我们定义一种运算:gh=已知函数f(x)=2x1,那么函数f(x-1)的大致图象是()

  [答案] B

  [解析] 由定义知,当x0时,2x1,f(x)=2x,当x0时,2x1,f(x)=1,

  f(x)=其图象易作,f(x-1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位得到,故选B.

  [方法点拨] 1.新定义题型要准确理解把握新定义的含义,发掘出其隐含条件.

  2.恒成立问题要注意恒成立的临界点及特值法应用.

  3.分段函数的单调性和最值问题,一般是在各段上分别讨论.

  (理)定义两种运算:ab=,ab=,则函数f(x)=为()

  A.奇函数 B.偶函数

  C.既是奇函数又为偶函数 D.非奇函数且非偶函数

  [答案] A

  [解析] 本题考查对新运算的理解和应用以及函数奇偶性的判断方法,难度中等.

  根据所给的运算定义得函数f(x)==,求出函数的定义域为[-2,0)(0,2],关于原点对称,且x-20,所以函数f(x)===,易知f(-x)=-f(x),所以原函数为奇函数,故选A.

  [易错分析] 本题中常见错误是不化简函数的解析式而直接将-x代入,导致选择错误答案D.

  9.(文)已知f(x)=,则f(2013)等于()

  A.-1 B.2

  C.0 D.1

  [答案] D

  [解析] 2013=4035-2,f(2013)=f(-2)=log22=1.

  (理)(2014湖南理,3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()

  A.-3 B.-1

  C.1 D.3

  [答案] C

  [解析] 本题考查函数的奇偶性.

  分别令x=1和x=-1可得f(1)-g(1)=3且f(-1)-g(-1)=1f(1)+g(1)=1,则

  f(1)+g(1)=1,故选C.

  10.(2015浙江嘉兴测试一)偶函数f(x)在[0,+)上为增函数,若不等式f(ax-1)0,01,f(2)=,则实数a的取值范围是________.

  [答案] (-1,)

  [解析] f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),得f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1),又f(1)1,所以f(2)-1,即-1,解得-10)上的奇函数,令g(x)=af(x)+b,并有关于函数g(x)的四个论断:

  若a0,对于[-1,1]内的任意实数m、n(m0恒成立;

  函数g(x)是奇函数的充要条件是b=0;

  aR,g(x)的导函数g(x)有两个零点;

  若a1,b0,则方程g(x)=0必有3个实数根;

  其中所有正确结论的序号是________.

  [答案]

  [解析] g(x)=af(x)+b,=,由图知对于f(x)在[-1,1]上任意两点A(m,f(m)),B(n,f(n)),有kAB=0,又a0恒成立,故正确;

  g(x)为奇函数g(-x)=-g(x)af(-x)+b=-af(x)-b2b=-a[f(-x)+f(x)],f(x)为奇函数,f(-x)+f(x)=0,故g(x)为奇函数b=0,故正确;

  g(x)=af (x),由图知f(x)在[-c,c]上减、增、减,

  f (x)在[-c,c]上取值为负、正、负,从而当a0时,g(x)=0在[-c,c]上与x轴必有两个交点,又a=0时,g(x)=0在[-c,c]上恒成立,aR,g(x)在[-c,c]上有两个零点,故正确;

  取a=1,b=-5,则g(x)=f(x)-5与x轴无交点,方程g(x)=0无实根,错误.

  二、解答题

  16.已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+,且f()=0,当x时,f(x)0.

  (1)求f(1);

  (2)判断f(x)的增减性并证明.

  [解析] (1)令x=y=,得f(1)=f()+f()+=.

  (2)f(x)为增函数,证明:任取x1、x2R,且x2x1,x=x2-x10,则:

  y=f(x2)-f(x1)=f(x1+x)-f(x1)=f(x)+f(x1)+-f(x1)=f(x)+=f(x)+f()+=f(x+),

  又0,x+,f(x+)0,

  f(x2)f(x1),f(x)在R上是增函数.

  [方法点拨] 抽象函数的求值与性质讨论,常结合条件式通过赋值转化解决,赋值时要紧扣目标进行.如判断奇偶性要创设条件产生f(-x)与f(x)的关系式;判断单调性,则要在设出x1


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